У даній статті команда INTBOARD™ спробувала  розповісти зрозуміло про складне. А саме, про 7 Проблем або Задач тисячоліття (Millennium Prize Problems).

Як за допомогою математики, її глибокого вивчення, можна заробити мільйони.

Та як йдеться у вислові, що приписується Ейнштейну, «пояснення повинно бути максимально простим, але не простіше». То ж почнемо.

Проблеми тисячоліття (також Задачі тисячоліття; англ. Millennium Prize Problems) — це сім математичних проблем, визначених Математичним інститутом Клея 2000 року, охарактеризовані як «важливі класичні задачі, розв’язання яких не знайдено впродовж багатьох років». За розв’язання кожної з цих проблем інститутом Клея запропоновано приз у розмірі 1 000 000 доларів США. Анонсуючи приз, інститут Клея провів паралель із проблемами Гільберта, які було визначено 1900 року та які спричинили істотний вплив на математику XX століття.

1900 року на Міжнародному математичному конгресі в Парижі Давид Гільберт оголосив 23 математичні проблеми, які, на його думку, слід було б розв’язати в ХХ столітті. На сьогодні 21 проблему з цього списку вже розв’язано, і тільки частина 8-ї проблеми — гіпотеза Рімана — ввійшла до переліку Проблем тисячоліття.

Наприкінці XX століття математики намагалися сформулювати подібні стратегічні завдання на наступне, XXI століття. Так, у травні 2000 року експерти Математичного інституту Клея (Кембридж, Массачусетс, США) відібрали сім найважливіших проблем сучасної математики. Кількість проблем у переліку (сім) було обрано виходячи з того, що засновник інституту, бостонський мільйонер Клей, виділив на премії сім мільйонів доларів — по мільйону за вирішення кожної проблеми.

Рівність класів P і NP

Докладніше: Рівність класів P і NP

Питання полягає в тому, чи для всіх задач, для яких комп’ютер може швидко перевірити заданий алгоритм (тобто, протягом поліноміального часу), він також може швидко знайти цей розв’язок. Проблема рівності класів складності P і NP є однією з найважливіших проблем теорії алгоритмів і має багато далекосяжних наслідків у математиці, філософії й криптографії (див. Наслідки рівності класів P і NP). Офіційна постановка задачі належить Стівену Куку.

Всі ми пам’ятаємо зі школи квадратні рівняння, які вирішуються через дискримінант. Вирішення цього завдання належить до класу P (Polynomial time) – для неї існує швидкий (тут і далі під словом «швидкий» мається на увазі як виконується за поліноміальний час) алгоритм рішення, який і заучується.

Також існують NP-задачі (Non-deterministic Polynomial time), знайдене рішення яких можна швидко перевірити за певним алгоритмом. Для прикладу перевірка методом перебору комп’ютером. Якщо повернутися до вирішення квадратного рівняння, то ми побачимо, що в даному прикладі існуючий алгоритм рішення перевіряється так само легко і швидко як і вирішується. З цього напрошується логічний висновок, що дана задача відноситься як до одного класу так і до другого.

Таких завдань багато, але основним питанням є, все або не всі завдання які можна легко і швидко перевірити можна також легко і швидко вирішити? Зараз для деяких завдань не знайдено швидкого алгоритму вирішення, і невідомо чи існує такий взагалі.

На просторах інтернету також зустрічається таке цікаве і прозоре формулювання:

“Припустимо, що ви, перебуваючи у великій компанії, хочете переконатися, що там знаходиться й ваш знайомий. Якщо вам скажуть, що він сидить в кутку, то досить буде частки секунди, щоб, кинувши погляд, переконатися в істинності інформації. За відсутності цієї інформації ви будете змушені обійти всю кімнату, розглядаючи гостей.”

В даному випадку питання стоїть таке ж, чи є такий алгоритм дій, завдяки якому навіть не маючи інформації про те, де знаходиться людина, знайти його так само швидко, як ніби знаючи де він знаходиться.

Дана проблема має велике значення для самих різних областей знань, але вирішити її не можуть вже більше 40 років.

Гіпотеза Ходжа

Докладніше: Гіпотеза Ходжа

Важлива проблема алгебраїчної геометрії. Гіпотеза описує класи когомологій на комплексних проективних многовидах, реалізовані алгебраїчними підмноговидами.

У реальності існують безліч як простих так і куди більш складних геометричних об’єктів. Очевидно, що чим складніше об’єкт тим більш трудомістким стає його вивчення. Зараз вченими придуманий і щосили застосовується підхід, основна ідея якого полягає в тому, щоб замість самого досліджуваного об’єкта використовувати прості «цеглинки» з уже відомими властивостями, які склеюються між собою і утворюють його подобу, так-так, знайомий всім з дитинства конструктор. Знаючи властивості «цеглинок», стає можливим підступитися і до властивостей самого об’єкта.

Гіпотеза Ходжа в даному випадку пов’язана з деякими властивостями як «цеглинок» так і об’єктів.

Гіпотеза Пуанкаре (доведена)

Докладніше: Гіпотеза Пуанкаре

Вважається найвідомішою проблемою топології. Неформально кажучи, вона стверджує, що всякий «тривимірний об’єкт», що має деякі властивості тривимірної сфери (зокрема, кожна петля всередині нього стягується), має бути сферою з точністю до деформації. 2002 року російський математик Григорій Перельман опублікував працю, з якої випливає справедливість гіпотези Пуанкаре.

Найчастіше зустрічається така розшифровка як «гумову стрічку натягнуту на сферу можна плавно стягнути в точку, а натягнуту на бублик – не можна». Насправді це формулювання справедливе для гіпотези Терстона, яка узагальнює гіпотезу Пуанкаре, і яку в дійсності і довів Перельман.

Окремий випадок гіпотези Пуанкаре каже нам про те, що будь-який тривимірне різноманіття без краю (всесвіт, наприклад) подібно тривимірній сфері. А загальний випадок переводить це твердження на об’єкти будь-якої вимірності. Варто зауважити, що бублик, точно так само, як всесвіт подібний сфері, подібний до звичайної кавової кружки.

Гіпотеза Рімана

Докладніше: Гіпотеза Рімана

Гіпотеза стверджує, що всі нетривіальні нулі дзета-функції Рімана мають дійсну частину 1/2. Її доведення або спростування буде мати далекосяжні наслідки для теорії чисел, особливо в частині розподілу простих чисел. Гіпотеза Рімана була частиною восьмої проблеми Гільберта.

Всім нам ще зі школи відомі прості числа які діляться тільки на себе і на одиницю (2, 3, 5, 7, 11, …). З давніх часів люди намагаються знайти закономірність в їх розміщенні, але удача досі так нікому і не посміхнулася. В результаті вчені застосували свої зусилля до функції розподілу простих чисел, яка показує кількість простих чисел менше або рівних певного числа. Наприклад для 4 – 2 простих числа, для 10 – вже 4 числа. Гіпотеза Рімана якраз встановлює властивості даної функції розподілу.

Багато тверджень про обчислювальну складність деяких цілочисельних алгоритмів, доведені в припущенні вірності цієї гіпотези.

Теорія Янга — Мілса

Докладніше: Квантова теорія Янга — Мілса

Задача походить із галузі фізики елементарних частинок. Потрібно довести, що для будь-якої простої компактної каліброваної групи G квантова теорія Янга — Мілса для простору R4 існує й має ненульовий дефект маси. Це твердження відповідає експериментальним даним і чисельному моделюванню, однак довести його дотепер не вдалося.

Рівняння квантової фізики описують світ елементарних частинок. Фізики Янг і Міллс, виявивши зв’язок між геометрією і фізикою елементарних частинок, написали свої рівняння, що об’єднують теорії електромагнітного, слабкої і сильної взаємодії. У свій час теорія Янга-Міллса розглядається лише як математичне вишукування, яке не має відношення до реальності. Однак, пізніше теорія почала отримувати експериментальні підтвердження, але в загальному вигляді вона все ще залишається не вирішеною.

На основі теорії Янга-Міллса побудована стандартна модель фізики елементарних частинок в рамках якої був передбачений і виявлений саме бозон Хіггса.

Рівняння Нав’є — Стокса

Докладніше: Рівняння Нав’є — Стокса

Рівняння Нав’є — Стокса — це система рівнянь, що описують рух в’язкої рідини, одна з найважливіших задач гідродинаміки. Незважаючи на важливість задачі, існування гладких розв’язків зі скінченною кінетичною енергією математично не доведено.

Потік рідин, повітряні потоки, турбулентність. Ці, а також безліч інших явищ описуються рівняннями, відомими як рівняння Нав’є – Стокса. Для деяких окремих випадків вже знайдені рішення, в яких як правило частини рівнянь відкидаються як, що не впливають на кінцевий результат, але в загальному вигляді рішення цих рівнянь невідомі, і при цьому навіть невідомо, як їх вирішувати.

Гіпотеза Берча і Свіннертона-Даєра

Докладніше: Гіпотеза Берча і Свіннертона-Даєра

Гіпотеза пов’язана з рівняннями еліптичних кривих і множиною їхніх раціональних розв’язків.

Для складних рівнянь пошук рішень стає надзвичайно важким, досить згадати історію доказів знаменитої теореми Ферма, щоб переконатися в цьому.

Дана гіпотеза пов’язана з описом алгебраїчних рівнянь 3 ступеня – так званих еліптичних кривих. І по суті є єдиним, відносно простим, загальним способом обчислення рангу, одного з найважливіших властивостей еліптичних кривих.

У доведенні теореми Ферма еліптичні криві зайняли одне з найважливіших місць. А в криптографії вони утворюють цілий розділ імені себе, і на них засновані деякі стандарти цифрового підпису.

***

В даний час математика асоціюється з вченими, що мають дивний вигляд і говорять про не менш дивні речі. Багато хто говорить про її відірваності від реального світу. Багато людей, як молодшого, так і цілком свідомого віку говорять, що математика непотрібна наука, що після школи / інституту, вона ніде не придалася в життя.

Але насправді це не так — математика створювалася як механізм за допомогою якого можна описати наш світ, і зокрема багато спостережуваних речей. Вона всюди, в кожній оселі. Як сказав Василь Йосипович Ключевський: «Не квіти винні, що сліпий їх не бачить».

Наш світ далеко не такий простий, як здається, і математика відповідно,  теж ускладнюється, вдосконалюється, надаючи все більше твердий грунт для більш глибокого розуміння існуючої реальності.

***

За даними матеріалів Вікіпедія та статті “Завдання тисячоліття. Просто про складне.