Математика. Задачи тысячелетия. Как заработать миллион!

В данной статье команда INTBOARD™ попыталась рассказать понятно о сложном. А именно, о 7 Проблем или Задач тысячелетия (Millennium Prize Problems).

Как с помощью математики, ее глубокого изучения, можно заработать миллионы.

И как говорится в высказывании, приписываемом Эйнштейну, «объяснение должно быть максимально простым, но не проще». Итак начнем.

Задачи тысячелетия (также Задачи тысячелетия; англ. Millennium Prize Problems) — это семь математических проблем, определенных Математическим институтом Клэя 2000 года, охарактеризованы как «важные классические задачи, решение которых не найдено на протяжении многих лет». За решение каждой из этих проблем институтом Клэя предложен приз в размере 1000000 долларов США. Анонсируя приз, институт Клэя провел параллель с проблемами Гильберта, которые были определены 1900 и повлекших существенное влияние на математику XX века.

1900 на Международном математическом конгрессе в Париже Давид Гильберт объявил 23 математические проблемы, которые, по его мнению, следовало бы решить в ХХ веке. На сегодня 21 проблему из этого списка уже решена, и только часть 8-й проблемы — гипотеза Римана — вошла в перечень Проблем тысячелетия.

В конце XX века математики пытались сформулировать подобные стратегические задачи на следующее, XXI века. Так, в мае 2000 года эксперты Математического института Клэя (Кембридж, Массачусетс, США) отобрали семь важнейших проблем современной математики. Количество проблем в перечне (семь) было выбрано исходя из того, что основатель института, бостонский миллионер Клей, выделил на премии семь миллионов долларов — по миллиону за решение каждой проблемы.

Равенство классов P и NP

Подробнее: Равенство классов P и NP

Вопрос заключается в том, для всех задач, для которых компьютер может быстро проверить заданный алгоритм (то есть, в течение полиномиального времени), он также может быстро найти это решение. Проблема равенства классов сложности P и NP является одной из важнейших проблем теории алгоритмов и имеет много далеко идущих последствий в математике, философии и криптографии (см.

Последствия равенства классов P и NP). Официальная постановка задачи принадлежит Стивену Куку.
Все мы помним из школы квадратные уравнения, решаемые через дискриминант. Решение этой задачи относится к классу P (Polynomial time) — для нее существует быстрый (здесь и далее под словом «быстрый» подразумевается как выполняется за полиномиальное время) алгоритм решения, который и заучивается.

Также существуют NP-задачи (Non-deterministic Polynomial time), найденное решение которых можно быстро проверить по определенному алгоритму. Например проверка методом перебора компьютером. Если вернуться к решению квадратного уравнения, то мы увидим, что в данном примере существующий алгоритм решения проверяется так же легко и быстро как и решается. С этого напрашивается логический вывод, что данная задача относится как к одному классу так и ко второму.

Таких задач много, но основным вопросом является, все или не все задачи, которые можно легко и быстро проверить можно легко и быстро решить? Сейчас для некоторых задач не найдено быстрого алгоритма решения, и неизвестно существует ли такой вообще.

На просторах интернета также встречается такое интересное и прозрачное формулировку:

«Предположим, что вы, находясь в большой компании, хотите убедиться, что там находится и ваш знакомый. Если вам скажут, что он сидит в углу, то достаточно будет доли секунды, чтобы, бросив взгляд, убедиться в истинности информации. При отсутствии этой информации вы будете вынуждены обойти всю комнату, рассматривая гостей. «

В данном случае вопрос стоит такое же, есть такой алгоритм действий, благодаря которому даже не имея информации о том, где находится человек, найти его так же быстро, как будто зная где он находится.

Данная проблема имеет большое значение для самых разных областей знаний, но решить ее не могут уже более 40 лет.

Гипотеза Ходжа
Подробнее: Гипотеза Ходжа

Важная проблема алгебраической геометрии. Гипотеза описывает классы когомологий на комплексных проективных многообразиях, реализуемые алгебраическими подмноговидов.

В реальности существуют множество как простых так и куда более сложных геометрических объектов. Очевидно, что чем сложнее объект тем более трудоемким становится его изучения. Сейчас учеными придуман и вовсю применяется подход, основная идея которого заключается в том, чтобы вместо самого исследуемого объекта использовать простые «кирпичики» с уже известными свойствами, которые склеиваются между собой и образуют его подобие, да-да, знакомый всем с детства конструктор . Зная свойства «кирпичиков», становится возможным подступиться и к свойствам самого объекта.
Гипотеза Ходжа в данном случае связана с некоторыми свойствами как «кирпичиков» так и объектов.

Гипотеза Пуанкаре (доказана)
Подробнее: Гипотеза Пуанкаре

Считается самой известной проблемой топологии. Неформально говоря, она утверждает, что всякий «трехмерный объект», что обладает некоторыми свойствами трехмерной сферы (в частности, каждая петля внутри него взимается), должен хотя бы ути сферой с точностью до деформации. 2002 российский математик Григорий Перельман опубликовал работу, из которой следует справедливость гипотезы Пуанкаре.

Чаще всего встречается такая расшифровка как «резиновую ленту натянутую на сферу можно плавно взыскать в точку, а натянутую на бублик — нельзя». На самом деле эта формулировка справедливо для гипотезы Терстона, которая обобщает гипотезу Пуанкаре, и которую в действительности и доказал Перельман.
Частный случай гипотезы Пуанкаре говорит нам о том, что любой трехмерное многообразие без края (вселенная, например) подобно трехмерной сфере. А общий случай переводит это утверждение на объекты любой размерности. Стоит заметить, что бублик, точно так же, как вселенная подобный сфере, подобный обычной кофейной кружки.

Гипотеза Римана
Подробнее: Гипотеза Римана

Гипотеза утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции Римана имеют действительную часть 1/2. Ее доказательства или опровержения будет иметь далеко идущие последствия для теории, особенно в части распределения простых чисел. Гипотеза Римана была частью восьмой проблемы Гильберта.

Всем нам еще со школы известны простые числа которые делятся только на себя и на единицу (2, 3, 5, 7, 11, …). С давних времен люди пытаются найти закономерность в их размещении, но удача пока так никому и не улыбнулась. В результате ученые применили свои усилия к функции распределения простых чисел, которая показывает количество простых чисел меньше или равных определенного числа. Например, для 4 — 2 простых числа, для 10 — уже 4 числа. Гипотеза Римана раз устанавливает свойства данной функции распределения.
Многие утверждения о вычислительную сложность некоторых целочисленных алгоритмов, доказаны в предположении верности этой гипотезы.

Теория Янга — Миллса
Подробнее: Квантовая теория Янга — Миллса

Задача происходит из области физики элементарных частиц. Нужно доказать, что для любой простой компактной калибровочной группы G квантовая теория Янга — Миллса для пространства R4 существует и имеет ненулевой дефект массы. Это утверждение соответствует экспериментальным данным и численному моделированию, однако доказать его до сих пор не удалось.

Уравнения квантовой физики описывают мир элементарных частиц. Физики Янг и Миллс, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных частиц, написали свои уравнения, объединяющие теории электромагнитного, слабого и сильного взаимодействия. В свое время теория Янга-Миллса рассматривается лишь как математическое изыскания, не имеет отношения к реальности. Однако позже теория начала получать экспериментальные подтверждения, но в общем виде она все еще остается нерешенной.

На основе теории Янга-Миллса построена стандартная модель физики элементарных частиц в рамках которой был предусмотрен и обнаружен именно бозон Хиггса.

Уравнения Навье — Стокса
Подробнее: Уравнение Навье — Стокса

Уравнения Навье — Стокса — это система уравнений, описывающих движение вязкой жидкости, одна из важнейших задач гидродинамики.

Несмотря на важность задачи, существование гладких решений с конечным кинетической энергией математически не доказан.
Поток жидкостей, воздушные потоки, турбулентность. Эти, а также множество других явлений описываются уравнениями, известными как уравнения Навье — Стокса. Для некоторых частных случаев уже найденные решения, в которых как правило части уравнений отбрасываются как, не влияющие на конечный результат, но в общем виде решение этих уравнений неизвестны, и при этом даже неизвестно, как их решать.

Гипотеза Берча и Свиннертона-Дайера
Подробнее: Гипотеза Берча и Свиннертона-Дайера

Гипотеза связана с уравнениями эллиптических кривых и множеством их рациональных решений.

Для сложных уравнений поиск решений становится чрезвычайно трудным, достаточно вспомнить историю доказательств знаменитой теоремы Ферма, чтобы убедиться в этом.

Данная гипотеза связана с описанием алгебраических уравнений 3 степени — так называемых эллиптических кривых. И по сути является единственным, относительно простым, общим способом вычисления ранга, одного из важнейших свойств эллиптических кривых.
В доказательстве теоремы Ферма эллиптические кривые заняли одно из важнейших мест. А в криптографии они образуют целый раздел имени себя, и на них основаны некоторые стандарты цифровой подписи.
•••
В настоящее время математика ассоциируется с учеными, имеют странный вид и говорят о не менее странные вещи. Многие говорят о ее оторванности от реального мира. Многие люди, как младшего, так и вполне сознательного возраста говорят, что математика не нужна наука, после школы / института, она нигде не пригодилась в жизни.
Но на самом деле это не так — математика создавалась как механизм с помощью которого можно описать наш мир, и в частности много наблюдаемых вещей. Она везде, в каждом доме. Как сказал Василий Осипович Ключевский: «Не цветы виноваты, что слепой их не видит».
Наш мир далеко не так прост, как кажется, и математика соответственно, тоже усложняется, совершенствуется, предоставляя все больше твердую почву для более глубокого понимания существующей реальности.
•••
По данным материалов Википедия и статьи «Задача тысячелетия. Просто о составе